单值和移动极差图(X—MR) 适用于数值型指标

单值和移动极差图(X—MR)
用于流量走势控制图

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d2=2,66;
D3=0(如果采样间隔小于7);
D4=3,267

Spannweite: 极差

Standardabweichung: 标准差

理论背景解释!
作者:知乎用户
链接:https://www.zhihu.com/question/31956208/answer/54262538
来源:知乎
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SPC控制图的管控界限UCL和LCL是基于3个标准差而得到的,而实际计算时,则是需要用A2,D3,D4来计算的,即A2,D3,D4是用来计算标准差,从而得到管控的上下限的。题主在实际运用中有这样的疑问,我估计是将样本的标准差和总体的标准差混淆了。可能您直接将收集的25组,每组5个数据,一共125个数据的标准差用来计算管控界限了,但这只是样本的标准差,而不是总体的标准差。那总体的标准差该如何估计呢(注意,只能是估计)?

假定质量特性服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2} ) ,且\mu ,\sigma 均已知。则样本均值\bar{x} =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{x_{i} } ,服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2} /n),并且样本均值落入界限:\mu \pm Z_{a/2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n} } 的概率为1-a。通常取Z_{a/2} =3,即采用3个标准差的做法。当然如果是非正态分布,根据中心极限定理,也可以得到这一推论。在实际工作中,μ与σ通常未知,这时就必须应用从稳态过程所取的预备样本的数据对它们进行估计。预备样本通常至少取25个(最好取35个预备样本),样本大小n要取决于合理分组的结构,抽样与检查的费用,参数估计的效率等因素,n通常取为4、5、6。

1.则过程的μ的最佳估计量为总均值\bar{\bar{x} } ,即可以采用\bar{\bar{x} } 作为\bar{x} 图的中心控制线CL。

2.\bar{x} 图建立控制界限UCL和LCL,需要估计过程的标准差σ,可以根据样本的极差或标准差来进行估计。应用极差进行估计的优点是极差计算简单。样本的极差R=x_{max} -x_{min} ,如果令W=R/σ,可以证明,W的期望值E(W)=d_{2} ,这是一个与样本大小n有关的常数,于是σ的估计量为\bar{\sigma } =E(R)/d_{2} 。则UCL=\mu +3\frac{\sigma }{\sqrt{n} } \approx \bar{\bar{x} } +3\frac{1}{d_{2}\sqrt{n} } \bar{R} =\bar{\bar{x} } +A_{2}\bar{R} ,这就是A2的来由,同理LCL也得出。

同样的方式在求R图的管制界限时,令W=R/σ,可以证明\sigma _{w} =d_{3} (d_{3} 为一与样本大小n有关的常数),于是\sigma _{R} =\sigma _{w} \sigma =d_{3} \frac{\bar{R} }{d_{2} }

这样R图的控制上限UCL=\mu _{R} +3\sigma _{R} \approx \bar{R } +3\frac{d_{3} }{d_{2} } \bar{R} =(1+3\frac{d_{3} }{d_{2} } )\bar{R} = D_{4} \bar{R} ,它的控制下限LCL=(1-3\frac{d_{3} }{d_{2} } )\bar{R} = D_{3} \bar{R} 。这就是D3,D4的由来。

同样的方式在求R图的管制界限时,令W=R/σ,可以证明\sigma _{w} =d_{3} (d_{3} 为一与样本大小n有关的常数),于是\sigma _{R} =\sigma _{w} \sigma =d_{3} \frac{\bar{R} }{d_{2} }

这样R图的控制上限UCL=\mu _{R} +3\sigma _{R} \approx \bar{R } +3\frac{d_{3} }{d_{2} } \bar{R} =(1+3\frac{d_{3} }{d_{2} } )\bar{R} = D_{4} \bar{R} ,它的控制下限LCL=(1-3\frac{d_{3} }{d_{2} } )\bar{R} = D_{3} \bar{R} 。这就是D3,D4的由来。

 

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